第十四届蓝桥杯第二期模拟赛题解

A题(填空题)

题面

请找到一个大于 2022 的最小数，这个数转换成二进制之后，最低的 6 个二进制为全为 0 。
请将这个数的十进制形式作为答案提交。

算法(枚举)

直接枚举即可。
更新：本题应该是只需要低六位都为0即可，一开始在做的时候以为第7位应该不能为0。

代码(C++)

答案：2112（正解：2048）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

string get(int x)
{
string s;
while(x)
{
s += x % 2 + '0';
x /= 2;
}
if(s[0] == s[1] && s[1] == s[2] && s[2] == s[3]
&& s[3] == s[4] && s[4] == s[5] && s[0] == '0')
{
cout << "res";
}
reverse(s.begin(), s.end());
return s;
}

int get_res(string s)
{
int res = 0;
for(int i = 0; i < s.size(); i ++) res = res * 2 + s[i] - '0';
cout << res << endl;
return res;
}

int main()
{
// string s;
//
// int x = 2022;
// while(x)
// {
// s += x % 2 + '0';
// x /= 2;
// }
//
// for(int i = 2023; i <= 10000; i ++)
// cout << get(i) << endl;

// 100001000000
get_res("100000000000");

// reverse(s.begin(), s.end());
// cout << s << endl;

return 0;
}

B题(填空题)

题面

我们计从 1949 年 10 月 1 日至 1949 年 10 月 2 日为经过了 1 天。请问从 1949 年 10 月 1 日至 2022 年 1 月 1 日经过了多少天？

算法(模拟)

模拟即可。

代码(c++)

答案：26390

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int months[12] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30};

bool is_leapYear(int y)
{
return y % 400 == 0 || (y % 100 != 0 && y % 4 == 0);
}

int get(int y, int m, int d)
{
int res = d;
for(int i = 1949; i < y; i ++)
if(is_leapYear(i)) res += 366;
else res += 365;

for(int i = 0; i < m; i ++)
res += months[i];

if(m > 2 && is_leapYear(y)) res ++;
return res;
}

int main()
{
cout << get(2022, 1, 1) - get(1949, 10, 1) << endl;
return 0;
}

C题(填空题)

题面

8518 是一个非常特殊的数，如果把这个数看成 16 进制数，它的值为 (8518)16=8161616+51616+116+8=34072，而 34072 正好是 8518 的整数倍。9558 也是这样一个数，当看成 16 进制时是 38232。其实长度为 1 的数 0 到 9 都满足看成 16 进制后是自己的整数倍（1倍）。请问，除开长度为 1 的数，最小的满足这样条件的数是多少？

算法(枚举)

枚举即可。

代码(c++)

答案：1038

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

bool check(int x)
{
string s = to_string(x);
int res = 0;
for(int i = 0; i < s.size(); i ++) res = res * 16 + s[i] - '0';
return res % x == 0;
}

int main()
{
int x = 10;
while(true)
{
if(check(x))
{
cout << x << endl;
break;
}
x ++;
}

return 0;
}

D题(填空题)

题面

小蓝有一个 30 行 60 列的数字矩阵，矩阵中的每个数都是 0 到 9 之间的数字。现在小蓝想从这个矩阵的第一行第一列画一条折线到第 30 行 60 列，线只能沿水平向右走或竖直向下走，只能在有数字的地方拐弯。小蓝想知道，这样一条线经过的数字的和最大是多少。

本题的输入在文章底部。

算法(线性DP)

线性DP，状态计算为：$f[i,j]=max(max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])) + v$，$v$是该点的权值。答案为$f[30][60]$。

代码(c++)

答案：592

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 35, M = 65;

int n = 30, m = 60;
char g[N][M];
int f[N][M];

int main()
{
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%s", g[i] + 1);

// cout << "?" << endl;

for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + g[i][j] - '0';
}
cout << f[n][m] << endl;

return 0;
}

E题(填空题)

题面

将 2022 拆分成不同的质数的和，请问最多拆分成几个？

算法(判断质数,01背包求方案数)

可以通过枚举$2$到$2022$间的数，对于每个数判断一下是否是质数(共307个)，也可以用线性筛求解质数，接下来本题的意思就是在一堆质数中选取最多的质数个数来凑成2022，并且每一个质数只能选一次，直接上01背包的板子即可，但是需要注意，最终还需求解方案数，01背包的方案数求解就是最终的状态是通过哪一步得来的，一直往前找，一直到最开始的状态，这期间所经历得到状态个数就是答案。

代码(C++)

答案：32

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2100;

int n = 307, m = 2022;
int cnt = 0;
int primes[N];
bool st[N];
int f[310][N];

void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; i ++)
{
if(!st[i])
{
primes[++ cnt] = i;
for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
}
}
}

int main()
{
get_primes(2022);

for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 2; j <= m; j ++)
{
if(primes[i] <= j)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - primes[i]] + primes[i]);
}
else f[i][j] = f[i - 1][j];
}

int j = m, res = 0;
for(int i = n; i; i --)
if(f[i][j] != f[i - 1][j]) {
j -= primes[i];
res ++;
cout << primes[i] << ' ';
}

puts("");
// cout << f[n][m] << endl;
cout << res << endl;

return 0;
}

F题

题面

小蓝正在拷贝一份文件，他现在已经拷贝了 t 秒时间，已经拷贝了 c 字节，文件总共有 s 字节，如果拷贝是匀速进行的，请问小蓝大概还需要拷贝多少秒？

输入格式

输入一行包含三个整数 t, c, s，相邻两个整数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出一个整数，表示答案。数据保证答案正好是整数。

数据范围

对于 50% 的评测用例，1 <= t, c, s <= 10000。
对于所有评测用例，1 <= t, c, s <= 1000000000。

算法(模拟)

模拟即可，对于通过求解速度$v=c/t$的方式来解答本题会在样例$2$就RE了，具体就是$c/t$的计算方式会导致其值为0，导致程序中出现除0的代码行，不妨将整个式子写下来，即$answer=(s-c)/(c/t)=(s-c)\times t/c$，题目保证答案一定为整数，只需注意数据范围最大为$1e9$，分子相乘会爆$int$，需要用$long\ long$来表示答案。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int t, c, s;

// (s - c) * t / c

// 1000000000 big data

int main()
{
scanf("%d%d%d", &t, &c, &s);
printf("%lld\n", (s - c) * 1ll * t / c);
return 0;
}

G题

题面

小蓝有 n 个单词，但是单词中有一些是重复的，请帮小蓝去除重复的单词。

输入格式

输入第一行包含一个正整数 n ，表示小蓝的单词数量。
接下来 n 行，每行包含一个由小写字母组成的单词。

输出格式

请输出去除重复后的那些单词。如果一个单词出现了多遍，请保留第一次出现的单词，去除之后出现的单词，按输入的顺序输出。

数据范围

对于所有评测用例，1 <= n <= 100，每个单词的长度不超过 100。

算法(哈希表)

读取数据后，按顺序输出，在输出判断当前字符串是否输出过，没有出现过则输出一行后换行，否则跳过，再在哈希表中存下当前的字符串，在C++中可用$unordered\underline{~}map$来当作哈希表使用。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
string words[N];
unordered_map<string, int> mp;

int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
cin >> words[i];
// mp[words[i]] ++ ;
}

for(int i = 0; i < n; i ++)
{
string s = words[i];
if(!mp.count(s)) cout << s << endl;
mp[s] ++ ;
}

return 0;
}

H题

题面

一个字符串如果从左向右读和从右向左读相同，则称为一个回文串，例如 lanqiaoaiqnal 是一个回文串。小蓝有一个字符串，请将这个字符串右边加上一些字符，使其成为一个回文串。如果有多种方案，请输出最短的回文串。

输入格式

输入一行包含一个字符串，由小写英文字母组成。

输出格式

输出一行包含答案。

数据范围

对于所有评测用例，1 <= 字符串长度 <= 100。

算法(贪心,双指针)

枚举字符串中最长的回文后缀即可，枚举出来后，此时的前缀（可能为空）进行反转后就是应当加在最开始字符串的后面，输出答案即可。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
string s;

bool check(string s)
{
int i = 0, j = s.size() - 1;
while(i < j)
if(s[i ++] != s[j --])
return false;
return true;
}

int main()
{
cin >> s;

n = s.size();
for(int i = 0, len = n; i < n; i ++, len --)
{
string t = s.substr(i, len);
if(check(t))
{
string prev = s.substr(0, i);
string post = prev;
if(prev.size())
{
reverse(post.begin(), post.end());
cout << prev + t + post << endl;
return 0;
}
else
{
cout << t << endl;
return 0;
}
}
}

return 0;
}

I题

题面

给定一个字母矩阵。一个 X 图形由中心点和由中心点向四个45度斜线方向引出的直线段组成，四条线段的长度相同，而且四条线段上的字母和中心点的字母相同。
　　一个 X图形可以使用三个整数 r, c, L 来描述，其中 r, c 表示中心点位于第 r 行第 c 列，正整数 L 表示引出的直线段的长度。 对于 1 到 L 之间的每个整数 i，X图形满足：第 r-i 行第 c-i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r-i 行第 c+i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r+i 行第 c-i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r+i 行第 c+i 列与第 r 行第 c 列相同。
　　例如，对于下面的字母矩阵中，所有的字母 L 组成一个 X图形，其中中间的 5 个 L 也组成一个 X图形。所有字母 Q 组成了一个 X图形。
　　LAAALA
　　ALQLQA
　　AALQAA
　　ALQLQA
　　LAAALA
　　给定一个字母矩阵，请求其中有多少个 X图形。

输入格式

输入第一行包含两个整数 n, m，分别表示字母矩阵的行数和列数。
接下来 n 行，每行 m 个大写字母，为给定的矩阵。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围

对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10。
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 100。

算法(枚举)

由于本题的数据量较小，暴力枚举即可，细节见代码。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
char g[N][N];

inline bool isInner(int x, int y)
{
return x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= m;
}

inline bool check(char c, int x, int y, int d)
{
int ax = x - d, ay = y - d;
int bx = x - d, by = y + d;
int cx = x + d, cy = y - d;
int dx = x + d, dy = y + d;
if(isInner(ax, ay) && isInner(bx, by)
&& isInner(cx, cy) && isInner(dx, dy)) {
return c == g[ax][ay] && g[ax][ay] == g[bx][by]
&& g[bx][by] == g[cx][cy] && g[cx][cy] == g[dx][dy];
}
return false;
}

inline int get(int x, int y)
{
char c = g[x][y];
int d = 1;
while(check(c, x, y, d)) d ++;
return d - 1;
}

int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%s", g[i] + 1);

int res = 0;
for(int i = 2; i < n; i ++)
for(int j = 2; j < m; j ++)
res += get(i, j);

printf("%d\n", res);
return 0;
}

J题

题面

小蓝有一个序列 a[1], a[2], …, a[n]，每次可以交换相邻的两个元素，代价为两个元素中较大的那个。请问，要通过交换将序列变为从小到大递增的序列，总代价最少为多少？

输入格式

输入一行包含一个整数 n ，表示序列长度。
第二行包含 n 个整数，表示给定的序列。

输出格式

输出一行包含一个整数，表示最少代价的值。

数据范围

对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 1000, 1 <= a[i] <= 1000。
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 50000, 1 <= a[i] <= 50000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000, 1 <= a[i] <= 1000000。

算法(贪心,逆序对,树状数组)

我们考虑每一个后缀中的第一个元素$x$应该被交换几次才应该满足最后的升序排列，情况一：如果后缀已经是升序，那么最小代价为0，不需要进行任何交换，情况二：后缀中小于$x$的所有数都应当于x进行交换，并且最小代价为$cnt(<x) \times x$，因为我们从后往前枚举完每一个后缀时，它应该变为了升序的序列。

• 证明：对应着情况一、二，情况一：升序，计算下一个后缀，情况二：我们花费了最小代价将其变为升序。

需要说明的是我们并不用手动的将其变为升序，因为只要不存在逆序对，那么这个序列就一定是升序的，我们会花费代价将有逆序对的后缀变为逆序对数量为0的后缀，即升序。
计算逆序对的方式有很多，在本题中最适合使用的是支持单点修改和区间查询的树状数组。
注意某点的代价极限为$1e6 \times 1e6$，会爆$int$，记得开$long\ long$。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1000010;

typedef long long LL;

int n;
int a[N];
int tr[N];

int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}

void add(int x, int v)
{
for(int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int query(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
return res;
}

int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);

LL res = 0;
for(int i = n; i >= 1; i --)
{
int v = a[i];
res += query(v - 1) * 1ll * v;
add(v, 1);
}

printf("%lld\n", res);
return 0;
}

附录

D题输入（30 $\times$ 60）

174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141